【简报No.172】教学反思∣尽信书，不如无书——以“人教A版高中数学必修2棱锥体积公式”为例

人教A版高中数学必修2教材在《简单几何体的表面积和体积》一节中，我们可以看到“如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么棱柱的体积是棱锥体积的3倍，因此，一般地，如果棱锥的底面面积是S，高为h，那么该棱锥的体积为Sh/3”。从实践中反馈，学生们很难掌握该公式，甚至连其来源都不清楚，只是死记硬背而已。课程标准明确提出：“知道棱锥的体积公式，能用公式解决实际问题。”因此，如何让学生“知道”，用什么样的方式使他们“知道”，在多大范围内“知道”是教科书没有提到的。

新课标对于该部分的学业要求是“能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果。”不难看出，这一部分的重点是对学生的直观想象、逻辑推理、数学运算与数学抽象的核心素养进行提升。

事实上，关于棱锥体积的理论，最早起源于中国南北朝时期数学家祖暅（祖冲之之子），父子两人对刘徽的相关工作进行了归纳，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅原理。祖暅原理是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。这个原理很容易理解，我们取一摞书或一摞纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状，这时高度没有改变，每页纸张的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等。祖暅不仅首次明确提出了这一原理，还成功地将其应用到柱、锥、台、球等的体积计算过程。根据祖暅原理，我们可以把三棱锥变形(底不变,侧棱变得垂直于底面)后放到一个正三棱柱里，可知它的体积不变，但明显另外还有两个跟它一样大小的三棱锥共同组成了三棱柱，所以它的体积为三棱柱的三分之一。

另外，在初中阶段，学生们已经学习过圆柱的体积公式，笔者将其作为“最近发展区”，利用三棱柱和三棱锥的体积关系，对锥体体积公式的起源进行了简要的解释。首先从三棱柱与三棱锥的体积入手，一方面通过探究发现，让学生从直观上了解两个等底等高的立体在体积上相等；另一方面，通过观察三棱柱与三棱锥的体积之间的关系，让学生了解两个几何体在体积上相等。基于此，笔者思考第一阶段：直观上建立两个几何体之间等底等高的关系。第二阶段：通过观察三棱柱与三棱锥之间等底等高的关系，建立两个几何体在体积上相等的关系。第三阶段，通过教学引导，借助图形，突破难点，将三个几何体间的等量关系建立起来。因为这些结论非常抽象，学生对它们的理解会比较困难。因此，我们需要利用 GeoGebra来辅助教学，将三个立体的特征表现出来，为教学活动提供强大的支持，与简单的推导相结合，就可以突破难点。

如图，三棱柱ABC-A1B1C1，连接A1C,A1B,C1B,则三棱锥A1-ABC与三棱锥B-A1B1C1等底等高，三棱锥A1-C1BC与三棱锥A1-BB1C1等底等高，从而有三棱锥A1-ABC与三棱锥B-A1B1C1体积相等，三棱锥A1-C1BC与三棱锥A1-BB1C1。因为三棱锥A1-BB1C1与三棱锥B-A1B1C1体积相等，所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积是三棱锥A1-ABC体积的3倍，即对于等底等高的柱体与锥体来说，锥体体积为柱体体积的三分之一。

紧接着，直棱柱存在这一结论，斜棱柱是否存在同样结论呢？通过不断挖掘学习过程，培养学生发现、分析、解决问题的能力，通过对数学史和数学家的故事的学习，持续地激发学生超越自我、挑战巅峰的价值导向，建立起一种家国情怀的责任感和使命担当，这就是数学的作用之处！

数学思维方法在数学素质中起着举足轻重的作用。数学思想是数学内容核心价值的体现，它是学生学习数学所必须具备的思维品质和基本素养。在数学教学过程中，要坚持思想引领、方法育人，对数学思想方法进行适时渗透，把数学思想方法植入到学生的头脑中，让数学思想方法成为学生的核心数学素养。方法胜于知识，想法胜于方法。

数学文化对于数学教育的作用已经得到了人们的认可，数学文化研究所取得的成果也是有目共睹的。但是什么样的有效方法可以更好地教授数学文化知识呢？数学文化对高中生影响到底有多大？如何把数学文化融入到高中数学教学中去？如何让学生树立正确的数学观，激发学生的学习兴趣，这是关系到数学文化研究的一个重要问题。

尽信书，不如无书。教学内容不限于书本，它既来自于教材，但更来自于学生生活。教材不是学生的全部世界，世界才是学生的全部教材。